Ма­те­ма­ти­че­ский ма­ят­ник со­вер­ша­ет гар­мо­ни­че­ские ко­ле­ба­ния. Его ско­рость в СИ из­ме­ря­ет­ся в:

За­ви­си­мость про­ек­ции ско­ро­сти υ_x ма­те­ри­аль­ной точки, дви­жу­щей­ся вдоль оси Ox, от вре­ме­ни t имеет вид: где В мо­мент вре­ме­ни мо­дуль ско­ро­сти υ ма­те­ри­аль­ной точки равен:

Три мо­то­гон­щи­ка рав­но­мер­но дви­жут­ся по за­круглённому участ­ку го­ноч­ной трас­сы, со­вер­шая по­во­рот на 180° (см. рис.). Мо­ду­ли их ско­ро­стей дви­же­ния υ₁  =  9 м/с, υ₂  =  12 м/с, υ₃  =  16 м/с, а ра­ди­у­сы кри­виз­ны тра­ек­то­рий R₁  =  3,0 м, R₂  =  4 м, R₃  =  5 м. Про­ме­жут­ки вре­ме­ни за ко­то­рые мо­то­гон­щи­ки про­едут по­во­рот, свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

Вы­бе­ри­те про­цес­сы, в ко­то­рых сила дав­ле­ния иде­аль­но­го газа со­вер­ша­ет по­ло­жи­тель­ную ра­бо­ту:

На ри­сун­ке сплош­ной ли­ни­ей по­ка­зан гра­фик за­ви­си­мо­сти ки­не­ти­че­ской энер­гии E_к тела от вре­ме­ни t, штри­хо­вой ли­ни­ей  — гра­фик за­ви­си­мо­сти по­тен­ци­аль­ной энер­гии E_п тела от вре­ме­ни t. Пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия E_полн тела оста­ва­лась не­из­мен­ной в те­че­ние про­ме­жут­ка вре­ме­ни:

В ниж­ней части со­су­да, за­пол­нен­но­го газом, на­хо­дит­ся сколь­зя­щий без тре­ния не­ве­со­мый пор­шень (см.рис.). Для удер­жа­ния порш­ня в рав­но­ве­сии к нему при­ло­же­на внеш­няя сила На­прав­ле­ние силы дав­ле­ния газа, дей­ству­ю­щей на плос­кую стен­ку AB со­су­да, ука­за­но стрел­кой, номер ко­то­рой:

Ве­ще­ство, на­чаль­ная тем­пе­ра­ту­ра ко­то­ро­го Т₁ = 400 К, на­гре­ли на   =  200 °C. Ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра t₂ ве­ще­ства равна:

На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти дав­ле­ния иде­аль­но­го газа опре­де­лен­ной массы от объ­е­ма. Гра­фик этого про­цес­са в ко­ор­ди­на­тах (V, Т) пред­став­лен на ри­сун­ке, обо­зна­чен­ном циф­рой:

1	2	3	4	5

На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик за­ви­си­мо­сти дав­ле­ния р од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа от его объёма V. При пе­ре­хо­де из со­сто­я­ния 1 в со­сто­я­ние 2 газ со­вер­шил ра­бо­ту, рав­ную А  =  9 кДж. Ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q, по­лу­чен­ное газом при этом пе­ре­хо­де, равно:

Фи­зи­че­ской ве­ли­чи­ной, из­ме­ря­е­мой в генри, яв­ля­ет­ся:

Ма­те­ри­аль­ная точка мас­сой m = 2,0 кг дви­жет­ся вдоль оси Ox. Гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти υ_x ма­те­ри­аль­ной точки на эту ось от вре­ме­ни t пред­став­лен на ри­сун­ке. В мо­мент вре­ме­ни t  =  2 c мо­дуль ре­зуль­ти­ру­ю­щей всех сил F, при­ло­жен­ных к ма­те­ри­аль­ной точке, равен ... H.

Из го­ро­дов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми l₀  =  30 км, од­но­вре­мен­но вы­ез­жа­ют нав­стре­чу друг другу два ав­то­мо­би­ля и дви­жут­ся по пря­мо­ли­ней­но­му участ­ку шоссе с по­сто­ян­ны­ми ско­ро­стя­ми. Если мо­дуль ско­ро­сти пер­во­го ав­то­мо­би­ля а мо­дуль ско­ро­сти вто­ро­го ав­то­мо­би­ля то до встре­чи со вто­рым ав­то­мо­би­лем пер­вый ав­то­мо­биль прой­дет рас­сто­я­ние l₁, рав­ное ... км.

На гид­ро­элек­тро­стан­ции с вы­со­ты h = 52 м еже­се­кунд­но па­да­ет m = 210 т воды. Если ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия элек­тро­стан­ции = 77%, то по­лез­ная мощ­ность элек­тро­стан­ции P_{по­лезн} равна ... МВт.

В бру­сок массы m₁ = 2,0 кг, ле­жав­ший на глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти и при­креп­лен­ный к вер­ти­каль­но­му упору лег­кой пру­жи­ной, по­па­да­ет и за­стре­ва­ет в нем пуля массы m₂ = 0,01 кг, ле­тев­шая со ско­ро­стью, мо­дуль ко­то­рой υ = 60 м/с, на­прав­лен­ной вдоль оси пру­жи­ны (см. рис.). Если мак­си­маль­ное зна­че­ние силы, ко­то­рой пру­жи­на дей­ству­ет на упор в про­цес­се воз­ник­ших ко­ле­ба­ний, F_max = 15,5 Н, то жест­кость k пру­жи­ны равна ... кН/м. Ответ округ­ли­те до це­ло­го.

Иде­аль­ный од­но­атом­ный газ, на­чаль­ный объем ко­то­ро­го V₁ = 0,8 м³, а ко­ли­че­ство ве­ще­ства оста­ет­ся по­сто­ян­ным, на­хо­дит­ся под дав­ле­ни­ем p₁ = 1,0 · 10⁵ Па. Газ на­гре­ва­ют сна­ча­ла изо­бар­но до объ­е­ма V₂ = 4,0 м³, а затем про­дол­жа­ют на­гре­вать при по­сто­ян­ном объ­е­ме. Если ко­неч­ное дав­ле­ние газа p₂ = 3,0 · 10⁵ Па, то ко­ли­че­ство теп­ло­ты, по­лу­чен­ное им при пе­ре­хо­де из на­чаль­но­го со­сто­я­ния в ко­неч­ное равно ... МДж.

Воз­дух (c = 1 кДж/(кг · °C) при про­хож­де­нии через элек­три­че­ский фен на­гре­ва­ет­ся от тем­пе­ра­ту­ры t₁ = 15 °C до t₂  =  45 °C. Если мощ­ность, по­треб­ля­е­мая феном, P = 1,5 кВт, то масса m воз­ду­ха, про­хо­дя­ще­го через фен за про­ме­жу­ток вре­ме­ни τ = 30 мин, равна ... кг.

Ци­лин­дри­че­ский сосуд с иде­аль­ным од­но­атом­ным газом, за­кры­тый не­ве­со­мым лег­ко­по­движ­ным порш­нем с пло­ща­дью по­пе­реч­но­го се­че­ния S = 160 см², на­хо­дит­ся в воз­ду­хе, дав­ле­ние ко­то­ро­го p₀ = 100 кПа. Если газу мед­лен­но со­об­щить ко­ли­че­ство теп­ло­ты Q = 840 Дж, то пор­шень сме­стит­ся на рас­сто­я­ние l, рав­ное ... мм.

Ис­точ­ник ра­дио­ак­тив­но­го из­лу­че­ния со­дер­жит изо­топ цезия мас­сой m₀ = 96 г, пе­ри­од по­лу­рас­па­да ко­то­ро­го T_1/2 = 30 лет. Через про­ме­жу­ток вре­ме­ни Δt = 90 лет масса m не­рас­пав­ше­го­ся изо­то­па цезия будет равна ... г.

Ве­че­ром при тем­пе­ра­ту­ре воз­ду­ха t₁  =  11,0 °C от­но­си­тель­ная влаж­ность воз­ду­ха была φ  =  60%. Ночью тем­пе­ра­ту­ра по­ни­зи­лась до t₂  =  2,0 °C. Если плот­ность на­сы­щен­но­го во­дя­но­го пара при тем­пе­ра­ту­рах t₁ и t₂ равна со­от­вет­ствен­но и то из воз­ду­ха объ­е­мом V  =  40 м³ вы­па­ла роса мас­сой m, рав­ной ... г.

В од­но­род­ном маг­нит­ном поле, мо­дуль ин­дук­ции ко­то­ро­го B = 0,10 Тл, на двух оди­на­ко­вых не­ве­со­мых пру­жи­нах жёстко­стью k = 50 Н/м под­ве­шен в го­ри­зон­таль­ном по­ло­же­нии пря­мой од­но­род­ный про­вод­ник дли­ной L = 1,5 м (см. рис.). Линии маг­нит­ной ин­дук­ции го­ри­зон­таль­ны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны про­вод­ни­ку. Если при от­сут­ствии тока в про­вод­ни­ке длина каж­дой пру­жи­ны была х₁= 30 см, то после того, как по про­вод­ни­ку пошёл ток I = 20 А, длина каж­дой пру­жи­ны х₂ в рав­но­вес­ном по­ло­же­нии стала рав­ной ... см.

В иде­аль­ном LC-кон­ту­ре, со­сто­я­щем из ка­туш­ки ин­дук­тив­но­стью L = 80 мГн и кон­ден­са­то­ра ёмко­стью C = 0,32 мкФ, про­ис­хо­дят сво­бод­ные элек­тро­маг­нит­ные ко­ле­ба­ния. Если мак­си­маль­ная сила тока в ка­туш­ке I₀ = 75 мА, то мак­си­маль­ный заряд q₀ кон­ден­са­то­ра равен … мкКл.

В иде­аль­ном ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре, со­сто­я­щем из кон­ден­са­то­ра и ка­туш­ки, про­ис­хо­дят сво­бод­ные элек­тро­маг­нит­ные ко­ле­ба­ния с ча­сто­той ν = 250 Гц. Если мак­си­маль­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре U₀  =  1,0 В, а мак­си­маль­ная сила тока в ка­туш­ке I₀  =  78,5 мА, то чему равна ёмкость С кон­ден­са­то­ра равна? Ответ при­ве­ди­те в мик­ро­фа­ра­дах.

Стрел­ка AB вы­со­той H  =  4,0 см и её изоб­ра­же­ние A₁B₁ вы­со­той h  =  2,0 см, фор­ми­ру­е­мое тон­кой лин­зой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны глав­ной оп­ти­че­ской оси N₁N₂ линзы (см. рис.). Если рас­сто­я­ние между стрел­кой и её изоб­ра­же­ни­ем AA₁  =  16 см, то мо­дуль фо­кус­но­го рас­сто­я­ния |F| линзы равен ... см.

Па­рень, на­хо­дя­щий­ся в се­ре­ди­не дви­жу­щей­ся вниз ка­би­ны па­но­рам­но­го лифта тор­го­во­го цен­тра, встре­тил­ся взгля­дом с де­вуш­кой, не­по­движ­но сто­я­щей на рас­сто­я­нии D  =  12 м от вер­ти­ка­ли, про­хо­дя­щей через центр ка­би­ны (см. рис.). Затем из-за не­про­зрач­но­го про­ти­во­ве­са лифта дли­ной l  =  3,1 м, дви­жу­ще­го­ся на рас­сто­я­нии d  =  2,6 м от вер­ти­ка­ли, про­хо­дя­щей через центр ка­би­ны, па­рень не видел глаза де­вуш­ки в те­че­ние про­ме­жут­ка вре­ме­ни Δt  =  2,0 с. Если ка­би­на и про­ти­во­вес дви­жут­ся в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях с оди­на­ко­вы­ми по мо­ду­лю ско­ро­стя­ми, то чему равен мо­дуль ско­ро­сти ка­би­ны? Ответ при­ве­ди­те в сан­ти­мет­рах в се­кун­ду.

Если за время Δt  =  30 суток по­ка­за­ния счётчика элек­тро­энер­гии в квар­ти­ре уве­ли­чи­лись на ΔW  =  31,7 кВт · ч, то сред­няя мощ­ность P, по­треб­ля­е­мая элек­тро­при­бо­ра­ми в квар­ти­ре, равна ... Вт.

Элек­три­че­ская цепь со­сто­ит из ис­точ­ни­ка тока, внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние ко­то­ро­го r  =  0,50 Ом, и ре­зи­сто­ра со­про­тив­ле­ни­ем R  =  10 Ом. Если сила тока в цепи I  =  2,0 А, то ЭДС ℰ ис­точ­ни­ка тока равна ... В.

Элек­трос­ку­тер мас­сой m  =  130 кг (вме­сте с во­ди­те­лем) под­ни­ма­ет­ся по до­ро­ге с углом на­кло­на к го­ри­зон­ту α  =  30° с по­сто­ян­ной ско­ро­стью Сила со­про­тив­ле­ния дви­же­нию элек­трос­ку­те­ра прямо про­пор­ци­о­наль­на его ско­ро­сти: где На­пря­же­ние на дви­га­те­ле элек­трос­ку­те­ра U  =  480 В, сила тока в об­мот­ке дви­га­те­ля I  =  40 А. Если ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия дви­га­те­ля η  =  85%, то мо­дуль ско­ро­сти υ дви­же­ния элек­трос­ку­те­ра равен ... 

На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти силы тока I в ка­туш­ке ин­дук­тив­но­стью L  =  7,0 Гн от вре­ме­ни t. ЭДС ℰ_с са­мо­ин­дук­ции, воз­ни­ка­ю­щая в этой ка­туш­ке, равна ... В.

Иде­аль­ный ко­ле­ба­тель­ный кон­тур со­сто­ит из кон­ден­са­то­ра элек­троёмко­стью С  =  150 мкФ и ка­туш­ки ин­дук­тив­но­стью L  =  1,03 Гн. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни ключ K разо­мкнут, а кон­ден­са­тор за­ря­жен (см. рис.). После за­мы­ка­ния ключа заряд кон­ден­са­то­ра умень­шит­ся в два раза через ми­ни­маль­ный про­ме­жу­ток вре­ме­ни Δt, рав­ный ... мс.

Луч света, па­да­ю­щий на тон­кую рас­се­и­ва­ю­щую линзу с фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем |F|  =  30 см, пе­ре­се­ка­ет глав­ную оп­ти­че­скую ось линзы под углом α, а про­дол­же­ние пре­ломлённого луча пе­ре­се­ка­ет эту ось под углом β. Если от­но­ше­ние то точка пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ния пре­ломлённого луча с глав­ной оп­ти­че­ской осью на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии f от оп­ти­че­ско­го цен­тра линзы, рав­ном ... см.